根与系数的关系教材分析14篇根与系数的关系教材分析 课题 基本信息 18.4一元二次方程根与系数的关系（沪科版八年级上册第十八章第4节） 教材分析 一元二次方程根与系数的关系的下面是小编为大家整理的根与系数的关系教材分析14篇,供大家参考。
篇一：根与系数的关系教材分析
课题
基本信息
18.4一元二次方程根与系数的关系（沪科版八年级上册第十八章第4节）
教材分析
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过3个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
教学过程教学环节
问题引探
教师活动
预设学生行为
设计意图
解下列方程：2x2+5x+3=03x2-2x-8=0
此得出一元二
并根据问题2和以上的求解填写下表
次方程的根与系数的若方程ax2+bx+c=0（a≠0）关系；还可以让学生
请观察上表，你能发现的两根为
用自己的语言表述这
两根之和、两根之积与方程的x1=
系数之间有什么关系吗？
x2=
问题4.请根据以上的则
，种关系，来加深理解。和记忆。
这个关系是一
观察发现进一步猜想：方程x1+x2=
+
ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，=
；
x2与a、b、c之间的关系：x1x2=
·
____________。
个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
问题5.你能证明上面
的猜想吗？请证明，并用文字
语言叙述说明。
分小组讨论以上的问
题，并作出推理证明。
探索发现
问题6.在方程
ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、
c的作用吗？（引导学生反思
性小结）
①二次项系数a是否为
零，决定着方程是否为二次方
程；
②当a≠0时，b=0，a、
c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△
=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0
时，x1+x2=
，
x1x2=
。
⑤当a≠0，c=0时，方
程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
尝试发展
拓展创新师生共同归纳小结
1）2x2-3x+1=0
x1+x2=________
x1x2=_________
（2）3x2+5x=0
根据根与系数的关系写x1+x2=________
出下列方程的两根之和与两x1x2=__________
此试一试、巩固
根之积（方程两根为x1，x2、
（3）5x2+x-2=0
k是常数）
x1+x2=_________
知识
x1x2=__________
（4）5x2+kx-6=0
x1+x2=_________
x1x2=__________
利用根与系数的关系，求
一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;
将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式
是什么？
1、方程的根是由系数决
定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。
本课主要研究了什么？
3、当a≠0，b2-4ac≥0时，
x1+x2=
，x1x2=
。
4、b2-4ac的值可判定根的情
回顾总结
况。5、方程根与系数关系的有关应用。
板书设计
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，
那么x1+x2=
，x1x2=
。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=
，x1x2=
。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力
教学反思
1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能
力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师
篇二：根与系数的关系教材分析
《一元二次方程根与系数的关系》说课稿
一、教材分析一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础
的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式根x1、2的值，得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。二、说教学目标的确立1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。三、说教材重难点的确定
一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。三、说教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。六、说教学过程活动1.展示目标活动2.问题引探：自主学习：问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？问题3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-2=0由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
活动3.系统训练：
1．试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，
x2、k是常数）
（1）2x2-3x+1=0
x1+x2=________
x1x2=_________
（2）3x2+5x=0
x1+x2=________x1x2=__________
（3）5x2+x-2=0
x1+x2=_________x1x2=__________
（4）5x2+kx-6=0
x1+x2=_________x1x2=__________
2．已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。
3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒
数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？
得出：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;.(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式)
活动4.小结检测：
小结：本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。
2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。
3、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2=b2-4ac的值可判定根的情况。
4、a≠0，△≥0时，x1+x2=，x1x2=。
5、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数
式的值。
检测：在尝试2中能否求（x1－x2）的值？2、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，
且a≠b，能否求a+b与ab的值？
活动5.布置作业：
拓展练习：
１．已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,
求这个等腰三角形的周长。
2、已知关于x的方程x2－2mx+m2=0.其中分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.
（1）求征这个方程有两个不相等实数根.
（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个三角
形的内切圆的面积．
3、已知二次函数y=x2+2ax－2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的图象都经过x轴上两个
不同的点,求这两个函数的解析式.
篇三：根与系数的关系教材分析
精品文档
一元二次方程的根与系数的关系
教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲
线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全
可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．
教学目标
知识目标：1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力2.掌握一元二次方程的根与系数的关系．
能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展
推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
情感目标:
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物.
教学重点和难点
重点：一元二次方程根与系数的关系;难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.
教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望;2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系
教学过程一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说
年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年
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龄是x227x1800的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数a、b、c确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。我们用配方法、因式分解法等措施求出根。除此之外，一元二次方程的两个根与系数到底还有没有其他关系？
二、探索发现活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数a、b、c为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数a、b、c为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。学生若没有提出，老师在表格中补充。小组讨论前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？
一元二次方程x1
x2
x1x2x1x2x1x2
x1
x2
两根同号
两根异号
有一根为0根为无理数
初步感知：学生很容易发现两个之和与两根之积关系很明显，但是两根之差和两根只商可以看出有关系，不过没有办法具体确定x1、x2分别等于几，因此
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差商不在本节课的谈论范围中。学生的猜想可能是：两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。当然会有学生质疑，他们提出二次项系数不为1的一元二次方程。教师顺势说明当系数为1的情况是什么，再讨论系数不为1的情况。知识初探：问题（1）关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两
根x1，x2与系数p,q之间有什么关系？怎么表示两根？学生探索得到：关于x的方程x2pxq0(p、q为常数，p24q0)的两根x1，x2与系数p,q的关系是：
x1x2p，x1x2q。反问学生你是怎么发现的？这个关系合理吗？你能试着证明吗？设计目的是训练学生从合情推理到演绎推理。。。学生讲证明思路。（用求根公式直接的两根，或配方法得到均可）
px
p22
4q
，推导出x1x2，x1x2
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程
二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
知识再探：问题（2）关于x的方程ax2bxc0(a0)的两根x1，x2与系数
a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
形如ax2bxc0(a0)的方程，如果b24ac0，两根为x1，x2，引导
学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。放手给学生做，最后总结为两种做法：①可以先将方程转化为二次项系数为
1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2bxc0(a0)
∵a0
∴x2bxc0aa
∴x1
x2
ba
，
x1x2
ca
②利用求根公式给出证明。（思路点拨即可）
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证明：∵ax2bxc0(a0)，当b24ac0时根为：
xbb24ac2a
设x1b
b22a
4ac
，x2
b
b24ac，则2a
∴x1x2b
b24acb2a
b24ac2bb
2a
2aa
x1x2b
b24acb2a
b24acb2(b24ac)4acc
2a
4a2
4a2a
介绍韦达：
练习：1.下列方程你能得出他们的两根之和与两根之积吗？
x24x30
2x24x10
x22x30
首尾呼应：现在你知道陈老师的年龄是多少了吗？x227x1800，两根之和等于27.
学生思考、归纳并回答下列问题：(1)小结根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？利用方程得到两根之和两根之积，知道两根之和和两根之积求方程。若a1，先把二次项系数化为1.（2）运用根与系数的关系要注意些什么？
篇四：根与系数的关系教材分析
一元二次方程根与系数的关系教学设计
作者：
工作单位：任教学科：数学
教学目标：
（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用
关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解
一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，
培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的
过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简
思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增
强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用
教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：
一、温故知新
1.用公式法解一元二次方程的一般步骤
、
、
2.用公式法解下列方程。
（1）x2+3x+2=0
(2)x2-5x+6=0
(3)3x2+x-2=0
(4)2x2-4x+1=0
设计意图：巩固求根公式，为根与系数关系的探索做铺垫。
二、合作探究
1.根据2中所求的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积并把
结果填入下表
一元二次方程x1x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0
x2-5x+6=0
3x2+x-2=0
2x2-4x+1=0
2.观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相互的方程的系数之间有何关系？3.由此猜想：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2与方程的系数a、b、c之间有什么关系？设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。三、归纳总结并证明若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则
x1+x2=-
ba
x1.
x2
=
ca
证明此处略（师生合作完成）
设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，
让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
四、随堂练习
不解方程，说出下列方程的两个根的和与积
(1)X2-2X-4=0
(2)2X2+3X=0
利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个
根
(1)X2-6X-7=0(-1,7)
（
）
5
1
(2)3X2+5X-2=0(3,3
)
（
）
(3）2X2-3X+1=0(3,1)
（
）
（4）X2-4X+1=0(-2+3
，-2-3
）（
）
设计意图：初步考查学生对根与系数关系的掌握情况，为巩固提升做
准备。
五、例题剖析
例1：已知方程3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另一个根及m的值。
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，
加深学生对根与系数关系的本质理解。
例2：设x1、x2是方程2x2+5x+1=0的两个根，求下列各式的值。（1）（x1+1)(x2+1)
（2）1/x1+1/x2
设计意图：：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。六、达标与测试（略）让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。七、小结
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。八、课堂板书（略）九、教后反思（略）
学情分析一元二次方程根与系数的关系
1.学生已学习了用求根公式解一元二次方程。2.本节课的教学内容针对的是初中三年级学生，学生对事物的认知多是直观形象的，他们所关注的多是事物外部的直接的、具体形象的特征。3.由于本校学生数学素养较差，基础性薄弱，在教学初始，展示学生所熟悉的，感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式在现代化的教学模式和传统教学模式结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
效果分析一元二次方程根与系数的关系
通过本节课的教学，（一）基本上丰富了学生的数学活动经验，发展了推理能力，进一步培养学生的符号意识与创新意识。（二）让学生经历合情推理与演绎推理活动，由特殊到一般地探索出一元二次方程根与系数的关系。（三）大多数同学会用韦达定理解决一些简单的应用题。（四）对于一些综合性的问题，还有待于进一步加强训练。
教材分析一元二次方程根与系数的关系
1.本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节课已揭示了方程的根是由方程的系数决定的；本节课进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系。2.本节通过学生解一元二次方程填写表格，观察表格中数据，发现规律得出结论，通过知识产生地过程，让学生感悟数学
的思维方式，激发学习意识。3.例1是根与系数的直接应用，考查学生对一元二次方程根与系数的熟练程度。例2是一元二次方程根与系数的常见题型，这类问题常是不解方程，转化为只会有x1+x2和x1x2后，再利用根与系数的关系得以解决。
评测练习
一元二次方程根与系数的关系
1.若一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为2-3,则另一个根
是
，c的值
。
2.设m、n是一元二次方程X2+2X-7=0的两个根，则
m2+3m+n=
。
3.已知实数a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求ba的值。
ab
（分两种情况）
教学反思
一元二次方程根与系数的关系
1.以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力。
2.借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大知识结构发展
能力，设计体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体，以培养学生思维能力为重点的教学思想，教师以探究规律为任务，引导学生发现、归纳与证明。为学生提供了自主合作、探究的舞台。
3.不足之处，由于学生基础性一般，在师生互动上有显生硬。因而，课堂气氛略显生涩。应加强基本功，特别是应变能力要提高。课堂上思想要高度集中，对学生出现的与自己预设不同的情况要认真思考，正确判断，正确回应。
课标分析
一元二次方程根与系数的关系
篇五：根与系数的关系教材分析
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
一：教材分析：本部分内容为选学内容，供有能力的学生学习。但是考虑到解题的需要以及
为高中打好基础，我觉得有必要给学生讲解一下。一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过1个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学习了本节内容后可以使学生更加灵活的运用这一关系解题。二：学情分析：
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2.本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
4．部分学生在学习了这一关系后感觉到了它的强大的解题的作用，可以激发学生进一步去探索其他规律的欲望。
三：教学任务分析
1、理解掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根
和与两根积。知识技能目
标2、能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解
教
决一些简单的有关一元二次方程的问题。
学
目
1、通过计算、比较、分析、归纳得出根与系数关系，使学生体会从特殊到一般的数学
过程与方法认知过程。
标
目标
2、通过小组合作，培养学生的合作意识。
情感态度目1、利用韦达定理渗透爱国主义精神教育。
标
重点难点
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程根与系数的关系结论的论证
四：教学流程安排
活动流程活动1、复习相关知识导入新课。
活动2、探究根与系数关系。
活动3、论证根与系数关系结论。活动4、根与系数关系的应用。活动5、课堂小结、布置作业。
五：教学过程
活动内容及目的通过对对相关知识的复习，目的在巩固旧知并为后续学习打铺垫。计算、分析、发现根与系数关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会有特殊到一般的认知过程。
探究根与系数关系的结论。培养学生严谨的学习态度。
反馈练习，加深对结论的理解和应用。回顾梳理本节的学习内容，使知识系统化，形成技能。
一、复习相关知识（以问题串的形式复习下列知识，学生口答或抢答）
1、一元二次方程的一般式？ax2+bx+c=0(a≠0)
（板书）
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？二、探究根与系数关系
由求根公式可知，一元二次方程的根由系数a、b、c确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来探究“一元二次方程的根与系数之间的其他关系”。
（板书课题）一元二次方程的根与系数关系
1、计算填表（出示，6分钟学生完成）
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+4=06x2+x-2=02x2-3x+1=0
师：问题：1、谁能发现上述方程两根和、两根积与系数a、b、c的关系？（小组成员合作交流归纳，3分钟后回报发现，并肯定学生们的正确发现。）
（两根和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；而两根积等于常数项除以二次项系数所得的商。）
师：刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？
2、（根据发现的结论填空）
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的有根x1,x2，
那么
，
。
三、论证结论：（板书）证明：当△＞0时，由求根根式得：
有此可见，这个结论对于一般的一元二次方程也成立。这个结论又称“韦达定理”，因为是法国数学家韦达最早发现的。（学生识记结论1分钟）
(设计意图)本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。四、根与系数关系的应用
（出示）例题：根据一元二次方程的根与系数关系，求下列方程两根x1、x2的和与积，并解方程验证。
五、课堂小结:
1、本节课你学到了那些知识？（学生小结，学生补充）
师：根与系数关系可以用来求两根和、两根积，还可以验算所求的根是否正确，更重要的是可以简捷地解决一些有关一元二次方程的问题。
六、布置作业
必做题：教材P43第7题
选做题：1、已知方程3x2-5x+m=0的一个根为1，不解方程求方程的另一个根及m的值。
2：已知一元二次方程2x2-5x-4=0的两个实数根为x1、x2.
求（1）1⁄x1+1⁄x2
(2)x1x2
设计意图：必做题为巩固本节根与系数关系基础知识，选做题为基础较好学有余力的同学设计，发展智力，提高学习的能力。
篇六：根与系数的关系教材分析
一元二次方程的根与系数的关系
一、【教材分析】
知识
教目标学目能力标目标
情感
目标
教学重点
教学难点
1.理解根系关系的推导过程.2.掌握一元二次方程的根和系数的关系.
1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积.2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题.
体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
根与系数的关系的推导、运用．
正确归纳、理解、运用根与系数的关系．
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
【探究1】
解下列方程，并填写表格：
方程
x1x2x1+x2
师生活动
二次备课
通过学生计算一些
x1x2特殊的一元二次方程的
x22x0
两根之和与两根之积，启
x23x40
发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一
自主x25x60
般的思考方法。
探
学生通过计算、猜
究
观察上面的表格，你能得到什么结论？想、交流、总结出根与系
若x1、x2为方程关于x的方程数的关系：
x2pxq0(p、q为常数，p24q0)
的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，
x1x2p，
-1-
q有何关系？请你写出关系式
x1x2q.
【探究2】
可以先将方程转化
关于x的方程ax2bxc0(a0)的为二次项系数为1的一元
两根x1+x2与x1·x2与系数a，b，c之间又有何二次方程，再利用上面的
关系呢？你能证明你的猜想吗？
结论来研究，即：
引导学生利用求根公式给出证明。
证明：当△＞0时，由求根根式得：
bb24ac
x1
2a
∴
，
bx2
b24ac2a
x1x2b
b24acb2a
b24acba
ax2bxc0(a0)
∵a0
∴x2bxc0aa
∴
x1
x2
ba
，
x1x2
ca
.
从理论上加以验证，让
(b)2(b24ac)4acc
x1x2
4a2
4a2a
学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
1.利用所学知识解决情景问题？
直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标.
尝2.不解方程，求下列方程的两根和与两根积.
试
（1）x2–3x+1=0
应
（2）3x2–2x-2=0
用
（3）2x2–3x=0
（4）3x2=1
学生先独立求解，再
让小组交流，然后学生代
表展示.比较不同解法，
3.已知方程2x2kx90的一个根是－3，求另一根及k的值？
引导学生谈谈有什么启示？
-1-
若一元二次方程x2-4x+2=0的两根是x1、
x2，求下列各式的值：
进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代
（1）1+1x1x2
入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作
对内容的升华理解认识
用.
补偿
（2）x12+x22
提
高
学生独立思考，师生梳
理本课的知识点及方法1、这节课我们学习了什么知识？有何作1．如果一元二次方程
用？
ax2+bx+c=0（a≠0）的两
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？
个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2
小运用了哪些数学思想？
－4ｑ≥0）的两个根是
结
x1，x2，那么x1+x2=_____，
x1x2=________；
以两个数x1，x2为根的一
元二次方程（二次项系数
-1-
为1）
.
注意：根与系数的关系
使用的前提条件
____________________.
必做：1.教科书课后练习.
2.教科书习题21.2第7题.
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
选作：
作业
1.已知两个数的和等于8，积等于9，求这
考察学生灵活运用
两个数？
知识解决问题能力，让学
生感受到根与系数的关
2.若一元二次方程x2+ax+2=0的两根满足：系在解题中的运用，同时
x12+x22=12，求a的值.
也考察学生思维的严密性.
三、【板书设计】
一元二次方程的根与系数的关系
1、对于ax2bxc0(a0)的方程，若b24ac0，两根为x1，x2.
那么
x1
x2
ba
，
x1
x2
ca
.
2、根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程，即a0.（2）方程为一般形式。即形如：ax2bxc0.（3）判别式大于等于零，即b24ac0.
四、【教后反思】
-1-
本节课通过情景对话，调动学生学习兴趣，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系时分两个层次（即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现）.
收获：1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础.2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验.不足：学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清，两根和、两根积有小部分同学有些混淆.
总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想.
-1-
篇七：根与系数的关系教材分析
今天我要说课的内容是“一元二次方程的根与系数的关系”。其实本节内容在湘教版数学教材中并没有安排专门的章节进行学习，只在九年级上册的复习题一的C组题中有简单介绍，但在《数学学法大视野》中却有不少的相关题型，在中考中也有涉及，由此可以看出本节内容的重要性。下面我将从以下几个方面介绍我的教学构想。一、教材分析：1、地位和作用
一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。2、教学重点难点
重点：根与系数的关系及其推导。
难点：正确理解根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系。
二、目标分析:1、知识目标：
掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用。2、能力目标：
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力，提高学生推理论证的能力。3、情感目标：
在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
三、教法、学法分析：
为了体现课改中“以学生为主体”的教育理念，在课程的引入和新授中充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
采用“复习——探索发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手，参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。从已知两根构造方程引入，积极配合使学生能观察出所给出的两根与所作方程系数的关系。比原先求出两根，验证两根之和，之积的难度提高了，但数学思维品质也相对提高了。实践证明，只要教学语言使用得当，问题情境设计得好，学生是能够从题目中去获得发现的。
四、过程分析:
为遵循学生的认识规律，体现学生的主动性，我的设计意图是以创设“学习环境”为主要任务，以主动学习为核心的教学操作策略，教学过程设计体现以知识为载体，思维为主线，能力为目标的原则。1、创设情景，导入新知首先让学生回忆一元二次方程的求解方法，写出它的一般形式和求根公式，然后解几个一元二次方程。这一环节一是为了复习前面所学的内容，二是为抛出问题引入新的学习内容作好铺垫。2、引发思考，探索新知
引导他们经历一元二次方程根与系数的关系的形成过程，体验新的知识是从已有的知识中自然地“长”出来的。探究的过程，我给学生设计了“解——算——验证——推导”的模式，最终得出一元二次方程根与系数的关系。3、知识应用
解决实际问题，是学习知识的最终目的，也是知识的生命所在，这样才能将新知识真正融入已有的知识体系中。在这里我设置了三个例题，主要是为了及时巩固新知，引导学生正确书写，进一步加深对一元二次方程根与系数的关系的理解。4、达标测试
学以致用，最后我设计了4个小题通过学生独立完成来进一步体现学生对所学知识的掌握情况。以便课下做实时的辅导训练。
5、小结提高
(1)．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
(2)．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．6、布置作业必做题
(1).已知x1，x2是方程-2x2+5x+6＝0的两个根，则x1+x2=，x1x2=。
(2)．已知方程2x2
-7x＋m＝0的根是4，求它的另一根及m的值．选做题
(3).方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
7、板书设计
篇八：根与系数的关系教材分析
《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。
二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根
求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。
三、学习过程：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的
方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0（2）x2＋3x－4＝0
（3）x2－5x＋6＝0.
探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
bb24acbb24ac
x1=
2a
,x2=
2a
能得出以下结果：
x1＋x2=
即：两根之和等于
x1•x2=
即：两根之积等于
太妙了！我想知道为什么？
乘以
x1x2=b
b24acb
+
2a
b24ac2a
bb24acbb24ac
=
2a
=
bx1.x2=
b24ac×b2a
b24ac2a
(bb24ac)(bb24ac)
=
4a2
()2()2
=
4a2
=
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为
x1+x2=
b，
c
x1x2=
a
a
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x2＋x＋c＝0(a≠0)，a
则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)
例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是
x1，那么
2x1
65
∴x1=
又x1+2=k（为什么？）5
∴k=
（为什么？）
想一想，还有没有别的做法？
例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2=
（1）∵（x1+x2）2=x12+2
+x22
∴x12+x22=（x1+x2）2-2
=
，x1x2=
（2）11
x1x2
x1x2
例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是31，2132
解：所求的方程是x2-（3121）x＋（32
）21＝0(为什么？)2
即x2+
x-
＝0或6x2+
x-＝0
例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根
解这个方程，得x1=
，x2=
因此，这两个数是
，
四、分层练习(A组)
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（1）y2-3y+1=0
（2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0
（4）3x2+5x-2=0（5）2y2-5=6y
（6）4p(p-1)-3=0
2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值
3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
（1）（x1+1）（x2+1）
（2）x2x1x1x2
4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-75、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。
B组：如果方程2x2＋kx-5＝0的实数根互为相反数，那么k=
C组：已知，是方程x2＋２x-5＝0的实数根，求22的值
新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
效果分析测试题（课后巩固自测题）
1.以3和—2为根的一元二次方程是（）A.x2x60B.x2x60C.x2x60D.x2x60
2.如果关于x的方程2x2－5x＋m＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（）
A.1
B.－1
C.2
2
2
3.不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积.
⑴
⑵
D.－2⑶
结果统计：第一题正确率98%，第二题88%，第三题71%，由此可以看出学生对这一问题基本掌握，但对于信息的变式运用和计算还非常欠缺。
课后反思1.增强实用性。一节课学生掌握的好坏要看学生练习时间的多少和
练习的质量，要进一步扩大学生练习的时间，提高练习质量。2.微视频的制作效果。微视频的效果要更吸引人，才能更好的激发
学习兴趣。3.增加课堂容量。精化细节，丰富环节，增加课堂容量，打造高效
课堂。4.落实检查。采用教师检查，组长检查等多种形式，检查发现问题，
督促学生学习。教材分析
本节是鲁教新版八年级下册第八章第五节，是在学习了一元二次方程的定义、求解方法的基础上对一元二次方程系数作用的进一步探索，本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
练习自测1：一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的
路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是(
)
A.摩托车比汽车晚到1h
B.A,B两地的路程为20km
C.摩托车的速度为45km/h
D.汽车的速度为60km/h
练习自测2：小华的爷爷每天坚持体育锻炼．某天他慢步到离家较远的绿岛公
园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离与
时间的函数关系的大致图象是（
）
练习自测3：某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程xkm计
篇九：根与系数的关系教材分析
《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
一、教材分析
一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以求根公式为基础来进行展开的。通过计算一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2，并进行分析，得出一元二次方程根与系数的关系，以及以x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。
二、学情分析
1、学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2、本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3、在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
三、教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
四、教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：对根与系数的关系的理解和推导，让学生从具体方程的根发现一
元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
五、多媒体的运用
使用投影仪进行教学。
六、教学过程
1、问题引探
解下列方程：
方程1：2x2+5x+3=0
方程2：3x2-2x-8=0
根据上面的求解填写下表：
方程1
根x1
根x2
方程2
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系
吗？
问题1.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
问题2.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
2、探索发现
问题3.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思
性小结）
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=
，x1x2=
。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
3、典例探究
利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2=
（1）∵（x1+x2）2=x12+2
+x22
∴x12+x22=（x1+x2）2-2
=
，x1x2=
（2）11x1x2＝__________
x1x2
x1x2
4、练习①如果x1、x2是一元二次方程x2-6x-2=0的两个实数根，则
x1+x2=_________.②一元二次方程x2–x–3=0两根的倒数和等于__________.
③关于x的方程x2+px+q=0的根为x112,x212，则p=______，q=____.5、归纳小结
本课主要研究了什么？
6、作业
①若x1、x2是方程x2–5x–7=0的两根，那么x12+x22=
，
(x1x2)2________.
②不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积。
（1）x2-3x–5=0
（2）2x2+5x–5=0
③已知x1、x2是一元二次方程2x2-2x+1-3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式x1x2+2(x1+x2)>0，求实数m的取值范围。7、板书设计
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=
，x1x2=
。
问题3.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=
，x1x2=
。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
七、学生学习活动评价设计
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力。
八、教学反思
1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
篇十：根与系数的关系教材分析
学情分析
一、学生的知识技能基础:
本节课是教材第四章的第一课时.学生在九年级上学期学习《一元二次方程》一章时对本节内容已有初步认识,他们对一元二次方程根与系数的关系已经有了初步了解,但是还不能灵活应用这部分知识解决中考中遇到的题目。
二、学生活动经验基础:
处于这一阶段的学生思维已具备了一定的数感、符号感,但所以立足于学生实际,从他们的已有经验出发,通过具体问题的指引,鼓励他们积极参与,认真思考,合作交流,帮助他们梳理概括题型,总结解题方法和解题策略,站在更高的角度上总结这部分知识在中考中的考法和解题技巧。引导学生通过自主探索、合作交流等多种方式掌握一元二次方程根与系数的关系的应用,能够灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决中考中的常见题型,从而达成教学目标。
效果分析
本节课在教学中采用自主感悟、合作醒悟、训练体悟、反思顿悟等几个环节,将教学重难点逐一化解,在教学中让学生打开视野,体会一元二次方程根与系数的关系的应用在中考中的常见题型。以学生为主体的教学理念在本节课的课堂教学中得到了很好的体现,在解决具体问题时首先进行独立思考,思考后的再进行小组合作交流,
整节课的教学过程,在目标的引领下,通过自主感悟、合作醒悟、训练体悟、反思顿悟四个环节,使本节课自然流畅,学生非常容易接受。通过交流合作初步认识了解题过程,运用了训练体悟,让学生在学习了例题的基础上及时跟进,训练相关的题目,通过学习教师观察,只有少部分学生能够找到解题方法,教师能及时点评,并给予学生又一次合作交流的时间,通过再次交流,大部分学生才理清了思路,及时点评,使本节课做到了画龙点睛。为了激发学生的学习热情,又及时跟进练习,提高难度,通过独立做,合作,点评,又合作,学生积极参与,使本节课效果明显。最后教师总结学生反思顿悟。提升自己的知识水平。
在设计中关注学生的人文价值和情感态度.强调知识的主动获得,鼓励学生的积极参与与探究信心的扶植,照顾到学生的年龄特点和已有经验水平.从效果上看还是不错的。达标率高。
教材分析
一元二次方程根与系数的关系是九年级上学期第二章《一元二次方程》在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前面所学的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系,以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。上两节已揭示了方程的根是由方程的系数决定的,它深化了两根与系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,也是方程理论的重要组成部分,作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
本节专题复习课的设计意图是引导学生复习一元二次方程根与系数的关系的结论和产生过程,通过具体问题的指引,引导学生通过自主探索、合作交流等多种方式掌握一元二次方程根与系数的关系的应用,能够灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决中考中的常见题型:
1.不解方程求方程的两根和与两根积;
2.求对称式或代数式的值;
3.构造一元二次方程;
4.求方程中待定系数的值;
本节课的教学重点是一元二次方程根与系数的关系的应用。本节课的教学难点是如何灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决中考中常见题型。教学中采用自主感悟、合作醒悟、训练体悟、反思顿悟等几个环节,将难点逐一化解。所以,在教学中学生合作学习、让学生亲历过程尤为重要。
评测练习
1.a、b是一元二次方程5x2-3x-7=0的两根,则a+b=ab=。
2.以-2、1为根的一元二次方程是。
3.如果x1+x2=8/3,x1*x2=-1,那么以x1、x2为根的一元二次方程是()
4.下列方程中,两实数根的和是2的方程式()
5.已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+3x+m2-3m-4=0有一个根是0,则m=()(A)-4,1(B)4,-1(C)4(D)1
课后反思
尝试对课本的教学思路进行整改,适合自己和学生,重视交流,在展示数学知识得出的
过程中提高学生的数学素养。
本专题课注重学生主体作用,充分以学生为主体进行教学,调动学生学习积极性,在教学过程中学生作为学习活动的主体出现,教师、教材教学手段都应为学生的“学”服务,教
()0
422=++xxA()0
422
=-+xxC()0
422=+-xxB()0
422
=--xxD()0
3832
=-+xxA()0
3832=++xxC()03832=+-xxD()0
3832=--xxB
师营造宽松愉悦的课堂氛围,给予适当的激励,引导学生积极参与教学活动,并充当教学活动的主角。
通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出:一元二次方程根与系数的关系应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题,有的将其与三角函数、几何等内容综合起来,形成难度系数较大的压轴题。
一元二次方程根与系数的关系是重点,让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述,以及由一个已知方程求作新方程,使新方程的根与已知的方程的根有某种关系,比较抽象,学生真正掌握有一定的难度,是教学的难点。要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数,两根之差。通过一元二次方程根与系数的关系的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。通过一元二次方程根与系数的关系的教学,可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力,也为学生今后学习方程理论打下基础。通过情境教学过程,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感,建立自信心。根据教材内容在教学中渗透新课标的精神,注重过程数学,注重创新教学,注重问题意识,关注学生的学习兴趣和经验,让学生主动参与学习活动,主动探索并获取知识,教师是组织者、引导者.学生体会解题方法的多样性,开阔解题思路,优化解题方法,增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习,获得数学活动经验,教师应注意引导。
篇十一：根与系数的关系教材分析
P> 一元二次方程根与系数的关系导学案学习目标：
1.了解并掌握一元二次方程根与系数之间的关系。2.经历观察、猜想、实验、交流、证明等推导一元二次方程根与系数关系的过程。3.会应用此关系解决有关的问题，发展推理能力，并进一步培养数学符号意识和创新意识。
学习过程：
一、创设情境、引入新知最强大脑：如果一元二次方程x2-2015x+2014=0的两根表示成x1,x2，哪位同学能在5秒内算出方程的两根之和以及两根之积？二、合作交流、探究新知1.解下列方程，填表：
一元二次方程
两根
两根之和两根之积二次项系数a
一次项系数b
常数项c
2.观察上表根据刚才我们列举的部分方程，猜想：
两根之和
与系数a、b、c有怎样的关系？
两根之积
与系数a、b、c有怎样的关系？
1
3.已知：如果一元二次方程
求证：
+
，
证明：
的两个根分别是、
设计意图：通过最强大脑激发学生探究兴趣，让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，让学生体会从特殊到一般的数学思想。同时也培养学生思维的严谨性，养成严格论证的习惯，还培养了学生自主探究的能力。
跟踪练习1.不解方程，求下列方程两根之和与两根之积.（1）（2）（3）
（4）（5）
温馨提示：应用根与系数的关系时，首先_____________________________.
2.下列方程中两实根的和等于2的方程是（）
A.
B.
C.
D.
温馨提示：应用根与系数的关系时，前提是___________________________.
设计意图：通过这两个习题，一方面是巩固记忆韦达定理，同时也指出使用韦达定理的两个条件，一是化为一般形式，二是.
三、典型例题、巩固新知
2
例1.已知方程
的一个根是-2，求它的另一个根及的值.（学
生独立完成，在互相交流解法，找同学口述解法，教师板书）
思考：你还有其他解法吗？
设计意图：例1的设计，主要是给学生创造一个知识迁移运用的机会。通过不同解法，让学生体会利用根与系数关系解决此问题的优越性，体会研究根与系数的重要性，调动全班同学参与到课堂中来。
跟踪练习：
如果-1是方程
的一根，则另一根是,=.
例2．设是方程
（先独立思考，再小组讨论）
的两根，不解方程，求下列代数式的值：
(1)
(2)
（3）x12+x22
（4）（x1-x2）2
设计意图：设置例题目的是让学生应用根与系数的关系求解代数式的值，加深对根与系数关系的理解，并能灵活应用这一关系解决问题。
四、课堂小结、回味新知
3
设计意图：深化对所学内容的理解、内化研究问题的方法，提升学生总结概括、反思的能力。
五、课后延伸、应用新知写出一个一元二次方程，使它的两根是4和-7
设计意图：开放性的作业设计，发展学生的核心素养，知识迁移应用。
1、本节课的教学对象是九年级学生，在前面的课程中已经体会由特殊到一般的数学思想，经历“实践-观察-发现-猜想-证明”的过程，已经学习了用公式法去解一元二次方程，对于公式法的求根公式掌握的比较熟练，能熟练应用。
2、在教学初始，利用央视最强大脑引入出示一些学生所熟悉情境和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和自主探究模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
3、本节课的内容是概念课，通过公式法可以推导出根与系数的关系，随着年龄的增长以及学生思维能力的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上学生有着较强的认知力与求知欲，在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。但在灵活运用这个关系解决问题上会有难度。
效果分析
本节课学生积极回答问题，课堂气氛活跃，在遇到较难理解的问题时，小组讨论合作交流，能够做到互相帮助，学生们对本节课问题基本掌握。
在用公式法推导一元二次方程根与系数的关系时，学生在分式的运算上比较薄弱，因此这里也是难点。例1是根与系数的直接应用，学生完成情况较好，同时提出该问题的其它解法，学生通过对比感受
4
根与系数关系的实用性；例2是一元二次方程根与系数的常见题型，这类问题通常是不解通过恒等变形，转化为两根之和与两根之积的形
式，再利用根与系数的关系得以解决，学生在这里难点是如何进行恒
等转化学生不熟练。
整节课下来，学生学习氛围浓厚，教学目标得到较好的实现。
《一元二次方程根与系数的关系》是初中数学青岛版教材九年级上册第四章第六节的内容，本节共1课时。主要内容是一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理），通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。韦达定理是初中代数中的一个重要定理，通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
4.6一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题1.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（）
5
A.﹣7
B.7
C.3
D.﹣3
2．关于x的一元二次方程(2a1)x2(a1)xl0的两个根相等，那么a等于()
A．1或5
B．1或5
C．1或5
D．1或5
3．已知m，n是关于x的一元二次方程x23xa0的两个根，若(m1)(n1)6，
则a的值为（）
A．10
B．4
C．4
D．10
4.已知x1，x2是一元二次方程
A.0
篇十二：根与系数的关系教材分析
P> 课堂教学设计流程问题与情境
一、知识复习：
导入语：同学们，前面我们学习了一元二次方程以及一元二次方程的解法，下面就前面学习的内容做一下复习。
师生行为
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程解的情况怎样确定？
请同学回答
设计意图
温故而知新，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学习兴趣。并且复习了以前学的知识为新课打基础。
二、新课讲授：填写下表：
方程
教师：下面给出了三
个一元二次方程，请
同学们求出它们的
根，计算出两根之和两两aa与两根之积，观察发
根根与与现两根之和与两根之
两
之之bc积和方程系数有什么
个
和积之之关系？
根
间间
关关教师：大家有什么发
系系现吗？
X2+3x-4=0X2-5x+6=02x2+3x+1=0
猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的
两个根
分
（学生可能茫然，没有发现什么。教师逐一出示引导问题，学生再观察，并说明理由）
学生经历讨论的过程，找学生谈发现的规律
以问题为核心，由“特殊到一般”逐步引导学生探究出“一元二次方程根与系数的关系”。
别是x1、x2那么，你可以发现什么结论？
由特殊向一般过度：已知：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1、x2求证：x1+x2=-b\a
x1x2=c\a
总结：如果一元二次方ax2+bx+c=0的两个根分别是x1、x2，那么x1+x2=-b\ax1x2=c\a这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
学生：我发现了……
大部分学生能够发现这个规律
教师：经历了给定的一元二次方程，我们发现其根与系数的关系，那对于一般的一元二次方程是不是也存在这样的规律呢？下面我们一起证明一下，下面按小组讨论一下怎样证明？
老师：提示一下，大家会用到一元二次方程的求根公式。
学生分组讨论证明，教师总结。
通过一元二次方程根与系数的关系证明意在体现学生在学习中的主体地位，培养学生分析和解决问题的能力，以及学生的团结协作能力。
韦达（1540——1603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
补充一元二次方程根与系数的关系的推论：若一元二次方程x2+px+q=0的两根分别是x1、x2，那么x1+x2=-px1x2=q
注意事项：
一：在确定一元二次方程有根时，不需要验根，直接利用一元二次方程根与系数的关系
学生：阅读韦达简介
老师：当二次项系数为1时，对于一元二次方程根与系数的关系的推论，大家可以直接应用。
老师：在利用一元二次方程根与系数的关系时，大家需要注意两点，就是验根和不
通过对数学家韦达的介绍，渗透教育的情感教育，向数学家致敬。
得到相应答案。
二：在不确定一元二次方程有无实数根时，需要验根，根据根的情况做出相应的解答。
二：例题讲解
例1：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的根x1，x2的和与积
•1、x2-6x-15=0•2、5x-1=4x2•3、x2+x+1=0
验根的情况。
老师：教师板书，给大家演示做法。
课堂练习:
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）
（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0（4）3x2=1
⒉已知方程x2-（2m+1）x+m=0的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（）
A.1B.-1C.2D.-2
⒊方程2x2-ax+2b=0的两根和为4，积为
-3，则a=
，b=
。
学生：在练习本上练习
检验学生对一元二次方程根与系数的关系掌握的情况，发现学生存在的问题。
三、一元二次方程根与系数的关系的应用（本部分内容与对应课件完全一致）应用一：求值例题讲解：
几种常见的求值变形
课堂练习
（
老师：分析例题，解释根与系数的关系与求值的联系，强调几种常见的变形，归纳注意事项。
加强这部分知识与前面学习内容的联系，使学生认识到数学知识的连贯性
学生：在练习本上做课堂练习。
注意事项：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
应用二、已知两根求作新的方程知识补充例题讲解课堂练习1.以2和－３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：
老师：介绍方法，总结规律。
学生：练习巩固。
让学生经历合情推理与演绎推理活动，通过知识的产生过程，积累数学活动经验，感悟数学的思维方式，激发创新意识。
应用三、求方程另一个根及k的值
例题讲解
例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
加强一元二次方程根与系数的关系的应用
课堂练习：
1、已知方程x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是，m的值是。
2.已知x=2是方程x2+mx+6=0的一个根,则
m=
,另一根为
老师：介绍方法，总结规律。
学生：练习巩固。
应用四：根的判别式和根与系数关系的综合运用例1、方程mx2-2mx+m-1=0有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
重要结论（1）一正根，一负根：△＞0X1X2＜0两个正根：△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根：△≥0X1X2＞0X1+X2＜0
老师：教师讲解例题，说明与这部分内容结合的知识点，并补充一部分重要结论，使学生在今后的解题中游刃有余。
学生：结合例题先分组讨论，找解决问题的方法。
篇十三：根与系数的关系教材分析
P> 教学文档人教版九年级上册公开课一元二次方程根与系数的关系教学设计和反思教材分析一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为根底的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学情分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学目标1、知识目标：要求学生在理解的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜测、证明等数学活动过程，开展推理能力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、感情目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探究与制造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
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教学文档
2、难点：让学生从具体方程的根发觉一元二次方程根与系数之间的关系，并用言语表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比拟抽象，学生真正掌握有肯定的难度，是教学的难点。
于2022-10-2309:59编辑教学过程教学反思1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的根底上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下根底。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探究与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探究的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成局部。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探究和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
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篇十四：根与系数的关系教材分析
P> 一元二次方程根与系数的关系教材分析1、本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节已揭示了方程的根是由方程的系数决定的；本节进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系。
2、本节通过学生解一元二次方程填写表格、观察表格中数据，发现规律得出结论，教师在进行合理的推理，得出一元二次方程根与系数的关系，通过知识的产生过程，让学生感悟数学的思维方式，激发学习意识。
3、例题处理上让学生打开视野，体会一元二次方程根与系数的题型；例1是根与系数的直接应用，考查学生对一元二次方程根与系数的熟练程度，同时提出该问题的其它解法，学生通过对比感受根与系数关系的实用性；例2是一元二次方程根与系数的常见题型，是关于一元二次方程两根的对称式的求值问题，这类问题通常是不解方程，把关于x1、x2的对称式通过恒等变形，转化为只含有对称式x1+x2和x1x2后，再利用根与系数的关系得以解决。
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