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BOO ACA C B 第 8 题图 2010 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 数
学
一、 选择题（在下列各题的四个选项中， 只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共 8 个小题， 每小题 3 分， 共 24 分）
1． 4 的平方根是 A．2
B． 2
C． ±2
D．2± 2． 函数11yx=+的自 变量 x 的取值范围是 A． x＞－1
B． x＜－1
C． x≠-1
D． x≠1 3． 一个几何体的主视图、 左视图、 俯视图的图形完全相同， 它可能是 A． 三棱锥
B． 长方体
C． 球体
D． 三棱柱 4． 下列事件是必然事件的是 A． 通常加热到 100℃， 水沸腾；
B． 抛一枚硬币， 正面朝上；
C． 明天会下雨；
D． 经过城市中某一有交通信号灯的路口， 恰好遇到红灯. 5． 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长， 不能构成直角三角形的是 A． 3、 4、 5
B． 6、 8、 10
C．6． 已知⊙O1、 ⊙O2的半径分别是12r =、3 、 2、4， 若两圆相交， 则圆心距 O1O2可能取的值是 5
D． 5、 12、 13 2r =A． 2
B． 4
C． 6
D． 8 7． 下列计算正确的是 A．a+2242aa=
B．2(2 )4aa= C．333×=
D．1232÷ = 8． 如图， 在⊙O 中， OA＝AB， OC⊥AB， 则下列结论错误的是 A． 弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长
B． 弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长
C．ACBC= D． ∠BAC=30°
二、 填空题（本题共 8 个小题， 每小题 3 分， 共 24 分）
9． －3 的相反数是
．
10． 截止到 2010 年 5 月 31 日， 上海世博园共接待 8 000 000 人， 用科学记数法表示 是
人．
11． 如图， O 为直线 AB 上一点， ∠COB=26° 30′ ， 则∠1=
度．
12． 实数 a、 b 在数轴上位置如图所示， 则| a |、 | b |的大小关系是
．
aobCC BB AOO A 1 y x
O 第 13 题图 第 12 题图 第 11 题图 · ·
13． 已知反比例函数1myx−=的图象如图， 则 m 的取值范围是
．
14． 已知扇形的面积为12π ， 半径等于 6， 则它的圆心角等于
度．
15． 等腰梯形的上底是 4cm， 下底是 10 cm， 一个底角是 60°， 则等腰梯形的腰长 是
cm．
16． 2010 年 4 月 14 日青海省玉树县发生 7.1 级大地震后， 湘江中学九年级（1）
班 的 60 名同学踊跃捐款． 有 15 人每人捐 30 元、 14 人每人捐 100 元、 10 人每人 捐 70 元、 21 人每人捐 50 元． 在这次每人捐款的数值中， 中位数是
.
三、 解答题（本题共 6 个小题， 每小题 6 分， 共 36 分）
17． 计算：23 tan30(π+−102010)−°−
18． 先化简， 再求值：
2x−− 291()333xxxx−+其中13x =.
19． 为了 缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状， 交路口设立了 交通路况显示牌（如图）
． 已知立杆 AB 高度点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60° 和牌 BC 的高度．
警队在一些主要是 3m， 从侧面 D45° ． 求 路 况显示
20． 有四张完全一样的空白纸片， 在每张纸片的一个面上分别写上 1、 2、 3、 4． 某同学把这四张纸片写有字的一面朝下， 先洗匀随机抽出一张， 放回洗匀后， 再随机抽出一张． 求抽出的两张纸片上的数字之积小于 6 的概率． （用树状图或列表法求解）
21． △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． A、 B、 C 三点在格点上．
（1）
作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1， 并写出点 C1的坐标；
（2）
作出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2， 并写出点 C2的坐标．
A F D E B C 第 19 题图 第 21 题图 y x
22． 在正方形 ABCD 中， AC 为对角线， E 为 AC 上一点， 连接 EB、 ED．
（1）
求证：
△BEC≌△DEC；
（2）
延长 BE 交 AD 于 F， 当∠BED=120° 时， 求∠EFD 的度数．
四、 解答题（本题共 2 个小题， 每小题 8 分， 共 16 分）
23． 长沙市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售， 由于国务院有关房地产的新政策出台后， 购房者持币观望． 为了加快资金周转， 房地产开发商对价格经过两次下调后， 决定以每平方米 4050 元的均价开盘销售．
（1）
求平均每次下调的百分率；
（2）
某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子． 开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打 9.8 折销售； ②不打折， 送两年物业管理费． 物业管理费是每平方米每月 1.5 元． 请问哪种方案更优惠？
24． 已知：
AB 是O的弦， D 是AB 的中点， 过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于 C．
（1）
求证：
AD＝DC；
（2）
过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E， 若 DE＝EC， 求 sinC．
五、 解答题（本题共 2 个小题， 每小题 10 分， 共 20 分）
2yax=+中0ab>>且 a 、 b 为实数．
（1）
求一次函数的表达式（用含 b 的式子表示）
；
（2）
试说明：
这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）
设（2）
中的两个交点的横坐标分别为 x1、 x2， 求| x1－x2 |的范围．
26． 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，25． 已知：
二次函数2bx−的图象经过点（1， 0）
， 一次函数图象经过原点和点（1， －b）
， 其8 2OA = cm，
OC=8cm， 现有两动点 P、 Q 分别从 O、 C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2
cm 的速度匀速运动， Q在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动． 设运动时间为 t 秒．
（1）
用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S；
（2）
求证：
四边形 OPBQ 的面积是一个定值， 并求出这个定值；
（3）
当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时， 抛物线214yxbxc=++ 经过 B、 P 两点， 过线段 BP 上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N， 当线段 MN 的长取最大值时， 求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比．
2010 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷 O 第 22 题图 BECDD AA O O B E C 第 24 题图 B A P x C Q y 第 26 题图
数学参考答案及评分标准
一、 选择题（本题共 8 个小题， 每小题 3 分， 共 24 分）
请将你认为正确的选项的代号填在答题卡上．
题号 答案 二、 填空题（本题共 8 个小题， 每小题 3 分， 共 24 分）
9． 3
10． 8× 106
11． 153． 5
13． m<1
14． 120
15． 6
三、 解答题（本题共 6 个小题， 每小题 6 分， 共 36 分）
BD 12． |a|>|b| 16． 50
17． 原式＝133123+×−
…………………………………………………3 分 ＝12
……………………………………………………………6 分 18． 原式＝(3)(3)13(3)xxxx x+−−+
……………………………………………2 分 ＝1x
……………………………………………………………4 分 当13x =时， 原式＝3
…………………………………………………6 分 19． 解：
∵ 在 Rt△ADB 中， ∠BDA＝45° ， AB＝3 ∴ DA＝3
…………2 分 在 Rt△ADC 中， ∠CDA＝60° ∴ tan60° =CAAD∴ CA=3 3
…………4 分 ∴ BC=CA－BA=(3 3 －3)米 答：
路况显示牌 BC 的高度是(3 3 －3)米
………………………6 分 20． 解：
（1）
或用列表法
…………3 分
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
4
8
12
（2）
P（ 小于6）
＝816221． 解：
（1）
如图 C1（－3， 2）
…………………3 分 （2）
如图 C2（－3， －2）
…………………6 分 ＝1
………………………………………………………6 分
22． （1）
证明：
∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ BC＝CD， ∠ECB＝∠ECD＝45°
又 EC＝EC
…………………………2 分 ∴ △ABE≌△ADE
……………………3 分 （2）
∵ △ABE≌△ADE 开1
2
3
4 1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
∴ ∠BEC＝∠DEC＝12∠BED
…………4 分
∵ ∠BED＝120° ∴∠BEC＝60° ＝∠AEF
……………5 分 ∴ ∠EFD＝60° +45° ＝105°
…………………………6 分
四、 解答题（本题共 2 个小题， 每小题 8 分， 共 16 分）
23． 解：
（1）
设平均每次降价的百分率是 x， 依题意得
………………………1 分 5000（1－x）解得：
x1=10％
x2＝19102= 4050
………………………………………3 分 （不合题意， 舍去）
…………………………4 分 答：
平均每次降价的百分率为 10％．
…………………………………5 分 （2）
方案①的房款是：
4050× 100× 0. 98＝396900（元）
……………………6 分 方案②的房款是：
4050×100－1.5×100×12× 2＝401400（元）
……7 分 ∵ 396900＜401400 ∴ 选方案①更优惠．
……………………………………………8 分
24． 证明：
连 BD∵BDAD=∴∠A＝∠ABD∴ AD＝BD
…………………2 分 ∵ ∠A+∠C＝90° ， ∠DBA+∠DBC＝90° ∴ ∠C＝∠DBC∴ BD＝DC ∴ AD＝DC
………………………………………………………4 分 （2）
连接 OD∵ DE 为⊙O 切线
∴ OD⊥DE
…………………………5 分
∵BDAD=， OD 过圆心
∴ OD⊥AB 又∵ AB⊥BC
∴ 四边形 FBED 为矩形∴ DE⊥BC
……………………6 分 ∵ BD 为 Rt△ABC 斜边上的中线∴ BD＝DC
∴ BE＝EC＝DE ∴ ∠C＝45°
…………………………………………………7 分 ∴ sin∠C=22
………………………………………………………………8 分
五、 解答题（本题共 2 个小题， 每小题 10 分， 共 20 分）
25． 解：
（1）
∵ 一次函数过原点∴设一次函数的解析式为 y=kx ∵ 一次函数过（1， －b）
∴ y=－bx
……………………………3 分 （2）
∵ y=ax2+bx－2 过（1， 0）
即 a+b=2
…………………………4 分 由2(2)2ybxyb xbx= −=−+−得
……………………………………5 分 22(2)20axa x+−−=①
∵△＝224(2)84(1)120aaa−+=−+> ∴ 方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴ 两函数有两个不同的交点．
………………………………………6 分 （3）
∵ 两交点的横坐标 x1、 x2分别是方程①的解 2(2)24aaxxaa∴12−−+==
122x xa−=
∴2121212()4xxxxx x−=+−＝22248164(1)3aaaa−+=−+ 或由求根公式得出
………………………………………………………8 分 ∵ a>b>0， a+b=2
∴ 2>a>1 4(1)3ya44(1)312a令函数2=−+
∵ 在 1<a<2 时 y 随 a 增大而减小．
∴2<−+ <
……………………………………………9 分 ∴242(1)32 3a<−+<
∴1222 3xx<−<
………………10 分
26． 解：
(1) ∵ CQ＝t， OP= 2 t， CO=8
∴ OQ=8－t ∴ S△OPQ＝212(8)24 222tttt−= −+（0＜t＜8）
…………………3 分 (2) ∵ S 四边形OPBQ＝S 矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ 18 8 28 22＝18 (8 2× ×2 )t2t×−×−−＝32 2
………… 5 分 ∴ 四边形 OPBQ 的面积为一个定值， 且等于 32 2
…………6 分 （3）
当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,
△QPB 必须是一个直角三角形， 依题意只能是∠QPB＝90°
又∵ BQ 与 AO 不平行
∴ ∠QPO 不可能等于∠PQB， ∠APB 不可能等于∠PBQ ∴ 根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ………………7 分 ∴8288 22ttt−−=解得：
t＝4
经检验：
t＝4 是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）
此时 P（ 4 2 ， 0）
∵ B（ 8 2 ， 8）
且抛物线214yxbxc=++ 经过 B、 P 两点，
∴ 抛物线是212 284yxx=−+ ， 直线 BP 是：28yx=−
…………………8 分 设 M（m,
28m −）
、 N(m，214m2 28m−+)
∵ M 在 BP 上运动
∴ 4 28 2m≤≤ ∵2112 284yxx=−+与228yx=− 交于 P、 B 两点且抛物线的顶点是 P ∴ 当 4 28 2m≤≤时，12yy>
………………………………9 分
∴12MNyy=−＝21(46 2)2m−−+
∴ 当6 2m =时， MN 有最大值是 2 ∴ 设 MN 与 BQ 交于 H 点则(6 2,4)M、(6 2,7)H ∴ S△BHM＝13 2 22× ×＝ 3 2
∴ S△BHM ：
S 五边形QOPMH＝ 3 2 : (3 223 2)−＝3:29 ∴ 当 MN取最大值时两部分面积之比是 3：
29．
…………………10 分
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