分部积分是积分运算的基本方法之一。运用分部积分法计算积分问题时，通常采用“竖式法”或“表格法”等，但这些方法往往操作起来十分复杂或不容易理解。本文将介绍一种简便的计算法——口诀法，以达到简化运算的目的。
分部积分 口诀法 分部积分口诀
高等数学是高职高专的一门公共基础课，微积分是高职高专学生的必修内容。一元函数微积分实际上包括两部分内容，一部分是微分学（极限、导数、导数的应用），另一部分是积分学（不定积分、定积分）。对于高职学生来讲，求函数的导数相对来说比较容易理解，计算方法也比较容易掌握。而对于积分来说学生时常会感觉到比较困难，有时做题无从下手。不定积分的计算方法主要包括：直接积分法、换元积分法（第一换元法、第二换元法）、分部积分法。而其中的分部积分法更是较难掌握，传统计算分部积分时通常采用“竖式法”或“表格发”，但这些方法操作起来往往比较复杂或不易理解。下面将介绍一种简单有效的分部积分计算方法——口诀法。
在利用分部积分法计算积分问题时，被积函数通常是两个不同类型函数的乘积。不妨假设这两个不同类型的函数为 U（x）和 V（x），则分部积分口诀公式为：
为进一步理解上面公式，我们首先来研究一下选择积分函数的先后顺序。下面我们来看几个例子。
由例1可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由幂函数和三角函数组成时，通常“积”三角函数.
由例2可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和对数函数组成时，通常“积”幂函数.
有些积分需要接连应用几次分部积分法才能完成.
由例3可以看出，当被积表达式中的 U（x）和V（x）是由幂函数和eax（指数函数）组成时，通常“积”eax（指数函数）.
有些积分在接连使用几次分部积分后，会出现与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分.
由例4可以看出，当被积表达式中的 U（x）和 V（x）是由eax（指数函数）和三角函数组成时，通常“积”eax（指数函数）.
总结以上数例，可知凡属于以下类型的不定积分，常可利用分部积分来计算：
（其中k，m为自然数）.
选择积分的先后顺序为：
eax（指数函数），三角函数，幂函数，对数函数
下面对口诀公式给出进一步说明：
即在 U（x）和 V（x）中，如果有eax（指数函数）先积eax（指数函数）；没有eax（指数函数），先积三角函数；既没有eax（指数函数），又没有三角函数，则积幂函数。如果被积函数中有对数函数，则一定不积对数函数，把对数函数作为不变的一项和求导的一项。
由此得到分部积分口诀：
“指”“三”“幂”先后序；
对数函数定不积；
分部“积·原- f积·导 dx” ；
牢牢记住勤练习。
以上给出了一些求不定积分的方法，这些方法必须通过大量的练习才能熟练.不定积分和求导数不一样，求不定积分不仅比求导数困难，而且有些积分用以上方法确实“积不出来”.对于任一给定的初等函数，可以求出其导函数.但对有些不定积分，如 等，尽管被积函数是初等函数，但其原函数却不可能用初等函数表示出来.
上述口诀法同样适合定积分的分部积分运算，只是相应地结合积分的限使用而已。分部积分法的使用灵活多样，各种方法都有自己的特点，口诀法只是其中的一种方法。读者要勤加练习以便掌握，也可以在今后的解题中不断积累经验、总结创新，期待发掘出更新更好的分部积分计算方法。
参考文献：
[1] 华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社，1991.3.
[2]李林曙，黎诣远.经济数学基础·微积分.北京：高等教育出版社，2004.